Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，記在點(diǎn)處的切線為.

（1）求的值和切線的方程（用表示）

（2）設(shè)與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn).

（i）求證：點(diǎn)在定直線上;

（ii）設(shè)與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），切線方程為（2）（�。┳C明見(jiàn)解析（ⅱ）的最大值為

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程可求出過(guò)的定點(diǎn)，按照拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出的值；利用在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程.（2）（i）利用點(diǎn)差法求出，寫(xiě)出直線OD的方程，代入，可求出為定值，即可證明. （ii）中，為底，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為高，用表示三角形的面積，中，為底，到的距離為高，依然用表示三角形的面積，換元求最值即可.

解：（I）由題意可得，，所以拋物線的焦點(diǎn)F為，則，.

直線的斜率為，所以切線方程，利用化簡(jiǎn)可得：.

（2）（i）證明：設(shè)，

由點(diǎn)差法可得，，即有，

直線OD的方程為，當(dāng)時(shí)，可得即有點(diǎn)M在定直線上；（ii）直線l的方程為，令，可得，

則，

則令，

則

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值