【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點的直線與拋物線相交于,兩點,弦的中點的軌跡記為.
(1)求的方程;
(2)已知直線與相交于,兩點.
(i)求的取值范圍;
(ii)軸上是否存在點,使得當(dāng)變動時,總有?說明理由.
【答案】(1) ; (2) (i)或.(ii)見解析.
【解析】
(1)先設(shè),,,根據(jù),以及題意,得到,再由,兩式聯(lián)立,即可得出結(jié)果;
(2)(i)先由題意得到方程組有兩不同實數(shù)解,消去,根據(jù)判別式,以及題中條件,列出不等式求解,即可得出結(jié)果;
(ii)假設(shè)存在是符合題意的點;設(shè),,聯(lián)立直線與曲線方程,根據(jù)韋達(dá)定理,得到,,計算,只需,即可得.
(1)設(shè),,,由題意可得:,
則,從而,
因為點為弦的中點,所以,即,
又直線過點,所以,
則,即,
而必在拋物線的內(nèi)部,從而,即.
故的方程為.
(2)(i)因為直線與相交于,兩點,
所以方程組有兩不同實數(shù)解,
由消去,得,
即在上有兩個不相等的實數(shù)根,
所以,只需且,
即且,解得:或.
所以的取值范圍是或;
(ii)假設(shè)存在是符合題意的點;設(shè),.
將消去,得,故,,
由(i)知:或;
從而
,
因此,當(dāng),即時,,
又為坐標(biāo)原點,所以,
即存在點符合題意.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)求二面角P﹣AB﹣D的大。
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【題目】男運動員名,女運動員名,其中男女隊長各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.
(1)任選人
(2)男運動員名,女運動員名
(3)至少有名女運動員
(4)隊長至少有一人參加
(5)既要有隊長,又要有女運動員
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【題目】如圖所示,拋物線與軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地,現(xiàn)計劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地,其中A、B在拋物線上,C、D在軸上.已知工業(yè)用地每單位面積價值為元,其它的三個邊角地塊每單位面積價值元.
(1)求等待開墾土地的面積;
(2)如何確定點C的位置,才能使得整塊土地總價值最大.
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【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形,的長分別為和,上部是圓心為的劣弧,.
(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離;
(2)現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒,放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示.設(shè)與地面水平線所成的角為.記拱門上的點到地面的最大距離為,試用的函數(shù)表示,并求出的最大值.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,拋物線的焦點是的一個頂點,設(shè)是上的動點,且位于第一象限,記在點處的切線為.
(1)求的值和切線的方程(用表示)
(2)設(shè)與交于不同的兩點,線段的中點為,直線與過且垂直于軸的直線交于點.
(i)求證:點在定直線上;
(ii)設(shè)與軸交于點,記的面積為,的面積為,求的最大值.
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【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,,,,E為AB的中點將沿CE折起,使點B到達(dá)點F的位置,且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為.
求證:平面平面AEF;
求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.
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【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分。每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品。
(Ⅰ)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為,求的概率;
(Ⅱ)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?
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