Question

【題目】若對(duì)任意的x∈D，均有g(shù)（x）≤f（x）≤h（x）成立，則稱函數(shù)f（x）為函數(shù)g（x）到函數(shù)h（x）在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[e﹣2,2]
【解析】解：若f（x）是g（x）到h（x）在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，

則x∈[1，e]時(shí)， 恒成立，

即 恒成立，

即 恒成立，

若k≥x﹣2在區(qū)間[1，e]上恒成立，則k≥e﹣2；

令 ，若 在區(qū)間[1，e]上恒成立，則k≤v（x）min，

，

令u（x）=x﹣lnx，則u′（x）=1﹣ ，

當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，u′（x）≥0恒成立，

則u（x）=x﹣lnx在[1，e]上為增函數(shù)，u（x）≥u（1）=1恒成立，

即 ≥0恒成立，

故 在[1，e]上為增函數(shù)，

v（x）≥v（1）=2恒成立，

故k≤2，

綜上可得：k∈[e﹣2，2]，

所以答案是：[e﹣2，2]

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．