Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A′，設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．

（1）當(dāng)θ=90°時(shí)，求A′C的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)cosθ= 時(shí)，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在圖1中，過(guò)A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．

∵AB=4 ，AD=2 ，∴BD= =10．

∴ ，BE= =8，cos∠CBE= = ．

在△BCE中，由余弦定理得CE= =2 ．

∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．

∴|A′C|= =2 ．

（2）DE= =2．

∵tan∠FDE= ，∴EF=1，DF= = ．

當(dāng) 即cos∠A′EF= 時(shí)， ．

∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°

又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F

∴A'F⊥平面ABCD．

以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過(guò)F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

∴A′（0，0， ），D（﹣ ，0，0），B（3 ，2 ，0），C（3 ，0，0）．

∴ =（0，2 ，0）， =（4 ，2 ，0）， =（ ，0， ）．

設(shè)平面A′BD的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，2 ，1）．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴BC與平面A'BD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)題意作出輔助線利用勾股定理可得AE、CE再由A′E⊥CE得出結(jié)果。（2）利用余弦定理可得A ' F的值，從而得出A'F⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，求出向量CB和平面A′BD的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求出BC與平面A'BD所成角的正弦值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．