【題目】在四棱錐的底面中,∥,,平面,是的中點(diǎn),且
(1)求證:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段內(nèi)是否存在點(diǎn),使得?若存在指出點(diǎn)的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析; (2); (3)線段上存在中點(diǎn),使得.
【解析】
(1)連接,證得四邊形為平行四邊形,得到,利用線面平行的判定定理,即可證得∥平面;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解;
(3)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),通過時(shí),向量的數(shù)量積為0,建立方程,即可求解.
(1)連接,因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),,
所以,且,
所以四邊形為平行四邊形,所以,
又因?yàn)?/span>平面,平面,
所以∥平面;
(2)由(1)可知,四邊形也是平行四邊形,
又由,所以四邊形是正方形,所以,
又由平面,所以以O為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,
可得,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可取,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可取,
設(shè)二面角的平面角為,
即二面角的余弦值為.
(3)假設(shè)線段上存在點(diǎn)E,且滿足,
設(shè),則,所以,即,
所以,
又由,可得,
所以,解得,
即線段上存在中點(diǎn),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求證:函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線:.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線的交點(diǎn)為,,是曲線上的動點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周長l的范圍.
在①(﹣cos,sin),(cos,sin),且,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x),f(A)
注:這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中并對其進(jìn)行求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知自變量為的函數(shù).其中,為自然對數(shù)的底,.
(Ⅰ)求函數(shù)與的單調(diào)區(qū)間,并且討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知,求證:
(ⅰ)方程有兩個(gè)根,;
(ⅱ)若(。┲械膬蓚(gè)根滿足,,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖兩個(gè)同心球,球心均為點(diǎn),其中大球與小球的表面積之比為3:1,線段與是夾在兩個(gè)球體之間的內(nèi)弦,其中兩點(diǎn)在小球上,兩點(diǎn)在大球上,兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)四面體的體積達(dá)到最大值時(shí),此時(shí)異面直線與的夾角為,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則=
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,,且存在不相等的實(shí)數(shù),使得,求證且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.
試估計(jì)該河流在8月份水位的中位數(shù);
(1)以此頻率作為概率,試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率;
(2)該河流域某企業(yè),在8月份,若沒受1、2級災(zāi)害影響,利潤為500萬元;若受1級災(zāi)害影響,則虧損100萬元;若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元.
現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案:
方案 | 防控等級 | 費(fèi)用(單位:萬元) |
方案一 | 無措施 | 0 |
方案二 | 防控1級災(zāi)害 | 40 |
方案三 | 防控2級災(zāi)害 | 100 |
試問,如僅從利潤考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.
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