Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，，且存在不相等的實數(shù)，使得，求證且．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)單調(diào)性見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，可通過放縮知，知其不符合題意，得到；由和時，可得到，將所證不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域為，，

令，則，

①當(dāng)，即時，，，

在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時，

令，解得：，，

當(dāng)時，，

當(dāng)和時，；當(dāng)時，，

在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上恒成立，

在上單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由題意得：，則；

當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，與存在不相等的實數(shù)使得相矛盾，

.

由得：，

，

不妨設(shè)，

令，則，

在上單調(diào)遞增，，即，

，

，，

欲證，只需證，只需證，

即證，

令，則只需證，即證，

令，

則，

在上單調(diào)遞減，，從而得證，

.