Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)

（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅳ）設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ) （Ⅳ）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，解得值；（2）根據(jù)單調(diào)性定義，作差通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定因子符號，最后根據(jù)差的符號確定單調(diào)性（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數(shù)的取值范圍；（4）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)求值域，即得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，需，∴，∴，

經(jīng)驗證， 為奇函數(shù)，∴.

（Ⅱ）減函數(shù)

證明：任取， ，且，則，

∵

∴

∴， ；

∴，即

∴該函數(shù)在定義域上是減函數(shù).

（Ⅲ）由得，

∵是奇函數(shù)，∴，

由（Ⅱ）知， 是減函數(shù)

∴原問題轉(zhuǎn)化為，即對任意恒成立，

∴，得即為所求.

（Ⅳ）原函數(shù)零點的問題等價于方程

由（Ⅱ）知， ，即方程有解

∵，

∴當時函數(shù)存在零點.

點睛:利用函數(shù)性質(zhì)解不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).