【題目】設(shè)F1 , F2分別是C: + =1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【答案】
(1)解:∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,

∴M的橫坐標(biāo)為c,當(dāng)x=c時(shí),y= ,即M(c, ),

若直線MN的斜率為 ,

即tan∠MF1F2=

即b2= =a2﹣c2,

即c2+ ﹣a2=0,

,

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2(舍去),

即e=


(2)解:由題意,原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn),則直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),

設(shè)M(c,y),(y>0),

,即 ,解得y= ,

∵OD是△MF1F2的中位線,

=4,即b2=4a,

由|MN|=5|F1N|,

則|MF1|=4|F1N|,

解得|DF1|=2|F1N|,

設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,

則(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).

,即

代入橢圓方程得 ,

將b2=4a代入得 ,

解得a=7,b=


【解析】(1)根據(jù)M是橢圓上的點(diǎn)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),由斜率等于傾斜角的正切值結(jié)合橢圓里a、b、c的關(guān)系得到關(guān)于a和c的方程,等式兩邊同除以得到關(guān)于離心率的一元二次方程解出值,并根據(jù)橢圓離心率的取值范圍舍去﹣2即可。(2)由題意可知利用中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y= 即可得b2=4a,再根據(jù)已知得出向量之間的關(guān)系并利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系求出點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓的方程結(jié)合a、b的關(guān)系即可求出其值。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如下頻率分布表.根據(jù)相關(guān)信息回答下列問題:

(1)求a,b的值,并畫出頻率分布直方圖;
(2)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)在[60,80)內(nèi)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至多有1人的分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的概率.

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【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)

(Ⅰ)求值;

(Ⅱ)判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(Ⅲ)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅳ)設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知方程.

(Ⅰ)若此方程表示圓,求的取值范圍;

(Ⅱ)若(Ⅰ)中的圓與直線相交于, 兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),求;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求以為直徑的圓的方程.

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【題目】已知雙曲線過點(diǎn)P(﹣3 ,4),它的漸近線方程為y=± x.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F1和F2為該雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在此雙曲線上,且|PF1||PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值.

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【題目】設(shè)為奇函數(shù),為實(shí)常數(shù).

(1)求的值;

(2)證明:在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

(3)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值

(2)若, ,的值

3)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求正數(shù)的取值范圍.

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