Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

（2）函數(shù)與軸交于兩點且，證明：.

Answer 1

【答案】（1） 函數(shù)的最大值為-1;（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求定義域內(nèi)的極值點，判斷極值點兩側(cè)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值；（2）利用點差法得到，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且代入求，初步化簡后采用分析法證明，當(dāng)證明到，根據(jù)，，經(jīng)過換元設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值，得到不等式的證明.

試題解析：（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，很據(jù)定義域，容易得到在處取得最大值，得到函數(shù)的最大值為-1.

（2）根據(jù)條件得到，，

兩式相減得，

得

因為

得

因為，所以，要證

即證

即證，即證

設(shè)，原式即證，即證

構(gòu)造求導(dǎo)很容易發(fā)現(xiàn)為負(fù)，單調(diào)減，所以得證