【題目】已知函數(shù).

(1)若的極值點(diǎn),求的極大值;

(2)求實(shí)數(shù)的范圍,使得恒成立.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析: Ⅰ)由于x=3f(x)的極值點(diǎn),則f′(3)=0求出a,進(jìn)而求出f′(x)>0得到函數(shù)的增區(qū)間,求出f′(x)<0得到函數(shù)的減區(qū)間,即可得到函數(shù)的極大值;
Ⅱ)由于f(x)≥1恒成立,即x>0時(shí), 恒成立,設(shè)g(x)= ,,分類討論參數(shù)a,得到函數(shù)g(x)的最小值≥0,即可得到a的范圍.

試題解析:

(1)

的極值點(diǎn)

解得

當(dāng)時(shí),

當(dāng)變化時(shí),

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

的極大值為.

(2)要使得恒成立,即時(shí), 恒成立,

設(shè),

(i)當(dāng)時(shí),由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為,由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,此時(shí),得.

(ii)當(dāng)時(shí),由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為,由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,此時(shí), 不合題意.

(iii)當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增,此時(shí), 不合題意

(iv)當(dāng)時(shí),由得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為,由得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,此時(shí), 不合題意.

綜上所述: 時(shí), 恒成立.

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