Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(2)若存在,使得成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當 a≤﹣1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，當a＞﹣1時，在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；(2) （﹣∞，﹣2）∪（，+∞）.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，并因式分解得，按 分類討論導函數(shù)符號變化規(guī)律，即得函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （2）先將存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即 ，再利用（1）討論函數(shù)最小值： ； ；

試題解析：（1）函數(shù)f（x）=x﹣alnx+的定義域為（0，+∞），

f′（x）=1﹣﹣=，

①當1+a≤0，即a≤﹣1時，

f′（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當1+a＞0，即a＞﹣1時，

x∈（0，1+a）時，f′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時，f′（x）＞0；

故f（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；

（2）①當a≤﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1）=1+1+a＜0，

解得，a＜﹣2；

②當﹣1＜a≤0時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；

③當0＜a≤e﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無解；

④當e﹣1＜a時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得f（x0）＜0成立可化為

f（e）=e﹣a+＜0，

解得，a＞；

綜上所述，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．