【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點(diǎn).
(I)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值.
【答案】解:(I)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線CD,CB,CP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz,
則C(0,0,0),A(2,1,0),B(0,3,0),P(0,0,2),D(2,0,0),E(1,2,0).
∴ , , ,
∴ , ,
∴DE⊥CA,DE⊥CP,
又CP∩CA=C,AC平面PAC,CP平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,∵DE平面PDE,
∴平面PDE⊥平面PAC.
(Ⅱ) ,
設(shè) 是平面PDE的一個(gè)法向量,則 ,
∴ ,
令x=2,則y=1,z=2,即 ,
∴ =4,| |=3,| |=2,
∴cos< >= = .
∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為 .
【解析】(I)點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量 , , 的坐標(biāo),根據(jù)數(shù)量積得出DE⊥AC,DE⊥CP,故而DE⊥平面PAC,于是平面PDE⊥平面PAC;(II)求出平面PDE的法向量 ,計(jì)算 與 的夾角,則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos< >|.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直,以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若0<α< ,﹣ <β<0,cos( +α)= ,cos( ﹣ )= ,則cos(α+ )=( )
A.
B.﹣
C.
D.﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法正確的是 . (填序號(hào))
①M(fèi)B∥平面A1DE;
②|BM|是定值;
③A1C⊥DE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:存在定點(diǎn),使得函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上,并求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)定義,其中且,求;
(3)對(duì)于(2)中的,求證:對(duì)于任意都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x﹣1),g(x)=loga(3﹣x)(a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的定義域;
(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,討論不等式f(x)≥g(x)中x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開,本屆大會(huì)以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題.某單位在國(guó)家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為 ,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤(rùn);如果不獲利,則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題共12分)
已知函數(shù), (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面,分別是的中點(diǎn),,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與所成的角最小時(shí),求線段的長(zhǎng).
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