Question

【題目】已知F1 ， F2為橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓C的上頂點(diǎn)，且|MF1|=2，右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率kOA ， kOB滿足kOAkOB=﹣ ，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，a=2，a﹣c=1，得c=1，a2=b2+c2，

∴b2=3，

∴橢圓的方程為

（2）解：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=n，不妨取A（n， ），B（n，﹣ ），

由kOAkOB=﹣ ，解得n2=2．

此時(shí)，S△AOB= 丨AB丨丨n丨= ，

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，消去y化簡(jiǎn)得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

由韋達(dá)定理可知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，△＞0得4k2﹣m2+3＞0

kOAkOB=﹣ ， =﹣ ，即：3x1x2+4y1y2=0，

即：3x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，

即：（3+4k2）x1x2+4km（x1+m2）+4m2=0，

化簡(jiǎn)整理得：3+4k2=2m2，

由弦長(zhǎng)公式得：丨AB丨= ，

= ，

O到直線y=kx+m的距離d= ，則：

S△AOB= 丨AB丨d= 丨m丨，

= 丨m丨，

= ．

綜上所述，S△/span>AOB=

【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)，|MF1|=2，即a=2，a﹣c=1，即可求得c=1，b2=3，即可求得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，kOAkOB=﹣ ，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式，即可求得△AOB的面積，當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)出直線l的方程，將直線l的方程代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2 ， 根據(jù)斜率公式求得表示出kOAkOB ， 由點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式，即可求得△AOB的面積，綜上即可求得△AOB的面積．