Question

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）對任意，成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ①當時，無極值；②當時，有極大值，無極小值；(2) .

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，兩種情況，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，求出的最大值，由對任意，成立，得到在上恒成立，令 ，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.

（1）的定義域為

又

①當時，在上，，是減函數(shù)；無極值；

②當時，得

在上，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，

所以當時，有極大值，無極小值，

綜合知：①當時，無極值；

②當時，有極大值，無極小值；

（2）由（1）知：①當，是增函數(shù)，又令，

，不成立；

②當時，當時，取得極大值也是最大值，

所以

要使得對任意，成立，

即：在上恒成立，

則在上恒成立，

令

所以

令

，得

在上，，是增函數(shù)，在上，，

是減函數(shù)，

所以當時，取得極大值也是最大值，

∴

在上，，是減函數(shù)，又

要使得恒成立，則.

所以實數(shù)的取值范圍為