【題目】如圖在棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB與面PCD成45°角，PB與面ABD成30°角．
（1）在PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC⊥面ADE，若存在確定E點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由；
（2）當(dāng)E為PB中點(diǎn)時(shí)，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

【答案】
（1）解：法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需 即可，

所以由 ，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ，

由題意知PD=CD=1， ，設(shè) ，∴ ，

由 ，得 ，

即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)


（2）解：由（1）知D（0，0，0）， ， ，P（0，0，1） ， ， ，

設(shè)面ADE的法向量為 ，面PAE的法向量為

由的法向量為 得， 得

同理求得 所以

故所求二面角P﹣AE﹣D的余弦值為 ．


【解析】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，只需證明AD⊥PC，通過證明 即可，然后推出存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)．法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ，設(shè) ，通過 =0得到 ，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)． （2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[﹣2，+∞）
B.[﹣3，+∞）
C.[0，+∞）
D.（﹣∞，﹣2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為f（x），則函數(shù)f（x）的單
調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場進(jìn)行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：從1個(gè)裝有6個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵，假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率；
（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；
（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知正方形OABC邊長為3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上一點(diǎn)，且2BM=MC，AN=NB，P為△BNM內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），設(shè) （λ，μ為實(shí)數(shù)），則 的最大值為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求直線BE與PA所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若定義域均為D的三個(gè)函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：對任意x∈D，點(diǎn)（x，g（x）與點(diǎn)（x，h（x）都關(guān)于點(diǎn)（x，f（x）對稱，則稱h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”．已知g（x）= ，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC中，AC=1， ，設(shè)∠BAC=x，記 ；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）試寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求方程 的解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 ，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在點(diǎn)（1，1）處取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ）
A.（﹣1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（1，+∞）
D.（﹣∞，1）

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