Question

【題目】在直平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．

（1）求證：OC1∥平面AB1D1
（2）求證：平面AB1D1⊥平面ACC1A1
（3）求三棱錐A1﹣AB1D1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)A1C1∩B1D1=O1，連接AO1．

因?yàn)锳A1∥CC1且AA1=CC1，

所以四邊形AA1C1C是平行四邊形．

所以A1C1∥AC且A1C1=AC．

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，

所以O(shè)1C1∥AO且O1C1=AO．

所以四邊形AOC1O1是平行四邊形．

所以AO1∥OC1．

因?yàn)锳O1平面AB1D1，OC1平面AB1D1

所以O(shè)C1∥平面AB1D1．

（2）證明：因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，

所以B1D1⊥AA1．

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，

所以B1D1⊥A1C1，又因?yàn)锳A1∩A1C1=A1，

所以B1D1⊥平面ACC1A1．因?yàn)锽1D1平面AB1D1，

所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1．

（3）解：由題意可知，AA1⊥平面A1B1C1D1，

所以AA1為三棱錐A﹣A1B1D1的高．

因?yàn)? ．

所以三棱錐A1﹣AB1D1的體積為 ．

【解析】（1）由直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征可知AO1 OC1 ， 于是OC1∥平面AB1D1；（2）由線面垂直的性質(zhì)得AA1⊥B1D1 ， 由菱形的性質(zhì)得A1C1⊥B1D1 ， 故而B(niǎo)1D1⊥平面ACC1A1 ， 于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1；
（III）以△A1B1D1為棱錐的底面，AA1為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．