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【題目】已知空間9點集,其中任意四點不共面.在這9個點間聯(lián)結若干條線段,構成一個圖G,使圖中不存在四面體.問圖G中最多有多少個三角形?

【答案】27

【解析】

在一個n個點的空間圖中不存在三角形,則其邊數不超過.

證明:設這n個點為,其中從引出的邊數最多,不妨設共有k條:.依條件,不存在三角形,那么,點之間沒有邊相連.從而,空間圖中每條邊均至少有一個端點為中的點而每個至多引出k條邊.因此,總邊數小于或等于k

下面證明空間9點集M中,若任意4點不共面,在這9點間聯(lián)結若干條線段,如果圖G中已有(至少)28個三角形,則至少有一個四面體.

用反證法.

假設不存在一個四面體,在9點集中,由抽屜原理知,其中必有一點為至少個三角形的頂點.從而,由這個點至少引出5條邊,設這個點為

(1).若從點引出5條邊,依題意,由于沒有四面體,那么,由這5個點構成的子圖中沒有三角形.由前面的結論知,這個子圖中至多有條邊.從而.以為頂點的三角形至多有6個,矛盾.

(2)若從點引出6條邊,類似(1),至多有個三角形以為頂點,矛盾.

(3)若從點引出7條邊,由于沒有四面體,可知這7個點構成的子圖中沒有三角形,這個子圖至多有條邊.從而,以為頂點的三角形至多有12個,不以為頂點的三角形必以點為一個頂點.類似地也至多有12個三角形,那么,三角形總數小于或等于12×2-24<28,矛盾.

(4)若從點引出8條邊,這時,,A這8個點構成的子圖中沒有三角形.由前面的結論知,至多有條邊.從而,原圖G中至多有16個三角形,矛盾.

于是,滿足要求的三角形至多有27個.

將9點集M分成三組,,,使同組中任兩點不連線,而不同組中的兩點均連線,這樣有個三角形,當然沒有四面體.

練習冊系列答案
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