【題目】如圖,四面體ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中點,E是BD的中點.
(1)證明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
【答案】(1)見解析;
(2).
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質得到,在根據(jù)面面垂直的性質定理,證得平面.
(2)以為坐標原點建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.
(1)證明:∵ AD=CD=,O是AC的中點,
∴ DO⊥AC.
∵ 平面DAC⊥底面ABC,平面DAC∩底面ABC=AC,
∴ DO⊥底面ABC.
(2)解:由條件易知DO⊥BO,BO⊥AC.
OA=OC=OD=2, OB=
如圖,以點O為坐標原點,OA為x軸, OB為y軸,OC為z軸建立空間直角坐標系.
則,,,
,,
,,.
設平面ADE的一個法向量為,
則 即
令,則,所以.
同理可得平面AEC的一個法向量.
.
因為二面角D-AE-C的平面角為銳角,所以二面角D-AE-C的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若為的極值點,求實數(shù)的值;
(2)若在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,方程有實根,求實數(shù)的最大值.
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【題目】已知空間9點集,其中任意四點不共面.在這9個點間聯(lián)結若干條線段,構成一個圖G,使圖中不存在四面體.問圖G中最多有多少個三角形?
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題為“若,則”
B.命題“,”的否定是“,則”
C.命題“若,則”的逆否命題為真命題
D.“”是“”的必要不充分條件
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【題目】過拋物線的焦點F的直線交地物線于點A.B(其中點A在第一象限),交其準線l于點C,同時點F是AC的中點
(1)求直線AB的傾斜角;
(2)求線段AB的長.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)), 橢圓C的參數(shù)方程為為參數(shù))。在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點A的極坐標為(2,
(1)求橢圓C的直角坐標方程和點A在直角坐標系下的坐標
(2)直線l與橢圓C交于P,Q兩點,求△APQ的面積
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【題目】某歌舞團有名演員,他們編排了一些節(jié)目,每個節(jié)目都由四名演員同臺表演.在一次演出中,他們發(fā)現(xiàn):能適當安排若干個節(jié)目,使團中每兩名演員都恰有一次在這次演出中同臺表演。求的最小值。
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