Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)x的取值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1 =sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
則kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
則有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，2x+ ∈[ ， ]，
則有sin（2x+ ）∈[﹣1，1]，
則當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得最小值，且為1，
當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得最大值，且為 +2
【解析】（Ⅰ）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），再由正弦函數(shù)的周期和單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范圍，可得2x﹣2x+ 的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，以及對(duì)三角函數(shù)的最值的理解，了解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．