Question

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,E,M分別是AD,PD的中點(diǎn),PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.

(1)求證:PB∥平面MAC.

(2)求證:平面MAC⊥平面PBE.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用等邊三角形的“三線合一”證得線線垂直，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直，再利用線面垂直和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明．

詳解：(1)連接BD交線段AC于點(diǎn)N,連接MN,則N為線段BD中點(diǎn).

∵點(diǎn)M為線段PD中點(diǎn),∴MN∥PB.又∵MN平面MAC,PB平面MAC,

∴PB∥平面MAC.

(2)∵PA=PD=AD=2,∴三角形PAD為等邊三角形.

又∵E為AD中點(diǎn),∴PE⊥AD.又∵PE⊥BE,BE∩AD=E,

∴PE⊥平面ABCD.又∵AC平面ABCD,∴AC⊥PE.

∵AD=2,AB=,四邊形ABCD是矩形,E是AD中點(diǎn),

∴△ABE∽△DAC,∴∠ABE=∠DAC,∴AC⊥BE.

∵PE∩BE=E,∴AC⊥平面PBE.∵AC平面MAC,

∴平面MAC⊥平面PBE.