Question

【題目】已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，且滿足：．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列．若也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)；

（Ⅲ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）

【解析】

試題

（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2＋a3＝14，解方程組可得a2＝5，a3＝9，于是可求得首項(xiàng)和公差，從而可得通項(xiàng)公式．（2）由題意得Sn＝2n2－n，故，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可得2b2＝b1＋b3，計(jì)算可得．經(jīng)驗(yàn)證可得滿足題意．（3）由（2）可得，故可根據(jù)基本不等式求最值．

試題解析：

(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，

由，解得或．

∵公差d>0，

∴a2＝5，a3＝9．

∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．

∴．

(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，

∴．

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

∴2b2＝b1＋b3，

∴2·＝＋，

解得 (c＝0舍去)．

∴．

顯然{bn}成等差數(shù)列，符合題意，

∴．

(3)由（2）可得

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

∴f(n)的最大值為．