Question

【題目】如果數(shù)列，，，（，且），滿足：①，；

②，那么稱數(shù)列為“”數(shù)列．

（）已知數(shù)列，，，；數(shù)列，，，，．試判斷數(shù)列，是否為“”數(shù)列．

（）是否存在一個等差數(shù)列是“”數(shù)列？請證明你的結(jié)論．

（）如果數(shù)列是“”數(shù)列，求證：數(shù)列中必定存在若干項之和為．

Answer 1

【答案】（）數(shù)列不是“”數(shù)列，數(shù)列是“”數(shù)列；（）不存在等差數(shù)列是“”數(shù)列；（）證明見解析．

【解析】分析：（1）根據(jù)定義直接判斷即可得解；（2）假設(shè)存在等差數(shù)列是“”數(shù)列，由，得，與矛盾，從而可證不存在等差數(shù)列為“”數(shù)列；（3）將數(shù)列按以下方法重新排列：設(shè)為重新排列后所得數(shù)列的前項和（且），任取大于0的一項作為第一項，則滿足，然后利用反證法，證明即可.

詳解：（）由題目是定義可直接判斷出，數(shù)列不符合數(shù)列要求，數(shù)列是“”數(shù)列．

（）不存在一個等差數(shù)列是“”數(shù)列，

證明：假設(shè)存在等差數(shù)列是“”數(shù)列，

則由，得與矛盾，

說明假設(shè)不成立，即不存在等差數(shù)列是“”數(shù)列．

（）將數(shù)列按以下方法重新排列：

設(shè)為重新排列后所得數(shù)列的前項和（，且），

任取大于的一項作為第一項，則滿足，

假設(shè)當(dāng)時，，

若，則任取大于的一項作為第項，可保證，

若，則剩下的項必有或與異號的一項，否則總和不是，

∴取或與異號的一項作為第項，可保證，

如果按上述排列后存在成立，那么命題得證，

否則，， 這個整數(shù)只能取區(qū)間內(nèi)的非整數(shù)，

∵區(qū)間內(nèi)的非整數(shù)至多個，

∴一定存在，

那么從第項到第項之和為，命題得證，

綜上所述，數(shù)列中一定存在若干項之和為，證畢．