Question

【題目】已知函數(shù)，其中實數(shù)．

（Ⅰ）判斷是否為函數(shù)的極值點，并說明理由；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是函數(shù)的極值點；（Ⅱ） .

【解析】試題分析: （Ⅰ）對函數(shù)求導,將代入導函數(shù)的分子,可得函數(shù)值為0,根據(jù)判別式結合驗證可得, 1是函數(shù)的異號零點，所以是函數(shù)的極值點．（Ⅱ）分類討論參數(shù)a, 當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以恒成立；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以不等式不能恒成立.

試題解析:（Ⅰ）由可得函數(shù)定義域為．

，

令，經(jīng)驗證，

因為，所以的判別式，

由二次函數(shù)性質可得，1是函數(shù)的異號零點，

所以是的異號零點，

所以是函數(shù)的極值點．

（Ⅱ）已知，

因為，

又因為，所以，

所以當時，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以有恒成立；

當時，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，所以不等式不能恒成立；

所以時，有在區(qū)間恒成立．

點睛:本題考查學生的是導數(shù)在單調(diào)性以及恒成立問題的應用,屬于中檔題目. 導數(shù)與極值點的關系：(1)定義域D上的可導函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0兩側異號，若左負右正為極小值點，若左正右負為極大值點；(2)函數(shù)f(x)在點x0處取得極值時，它在這點的導數(shù)不一定存在，例如函數(shù)y＝|x|，結合圖象，知它在x＝0處有極小值，但它在x＝0處的導數(shù)不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的充分條件也不是必要條件．最后提醒學生一定要注意對極值點進行檢驗．