Question

【題目】已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.

（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)大于1的不相等實(shí)根，利用實(shí)根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，根據(jù)真假列方程組解得實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，

即，

化簡得對任意的x∈R成立，

所以k＝1．

（2）若命題q為真命題，因?yàn)?/span>在[a，b]上恒成立，

所以g(x)在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，

又g(x)的定義域和值域都是[a，b]，所以

所以a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，且1＜a＜b．

即方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根且不相等，

記h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，

故，解得，

所以k的取值范圍為．

因?yàn)椤皃且q”為假命題，“p或q”為真命題，

所以命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，

即p真q假，或p假q真．

所以或

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．