【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足:2Sn+an=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn<2.
【答案】
(1)解:2Sn+an=1,2Sn+1+an+1=1,
∴2an+1+an+1=an,
∴3an+1=an,
又2S1+a1=1,
∴a1= ,
∴{an}是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,
∴an=( )n
(2)解:證明: = = =2( ﹣ )
∴Tn=2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )]=2(1﹣ )<2
【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,(2)利用裂項(xiàng)求和即可求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn , 再放縮證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ( ),若函數(shù)F(x)=f(x)﹣3的所有零點(diǎn)依次記為x1 , x2 , x3 , …,xn , 且x1<x2<x3<…<xn , 則x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣x﹣lnx,a∈R.
(1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若﹣1≤a≤0,證明:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù),命題函數(shù)的定義域和值域都是,其中.
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若“且”為假命題,“或”為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,且,數(shù)列滿足,,對(duì)任意,都有.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意的,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2 ,AD= ,M為DC的中點(diǎn),將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM (Ⅰ)求證:AD⊥BM
(Ⅱ)若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)E在何位置時(shí),二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,方程f2(x)+mf(x)=0(m∈R)有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣ ,0)
C.(﹣ ,+∞)
D.(0, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可參加一次抽獎(jiǎng).隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展,參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來越多,該商場(chǎng)對(duì)前5天抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),y表示第x天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表如下:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)若從這5天隨機(jī)抽取兩天,求至少有1天參加抽獎(jiǎng)人數(shù)超過70的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并估計(jì)該活動(dòng)持續(xù)7天,共有多少名顧客參加抽獎(jiǎng)?
參考公式及數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ x2﹣ax(a為常數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1 , x2 , 若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.
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