【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-2sinθ.
(Ⅰ)求C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若點A在圓C上,點B(3,0),求AB中點P到原點O的距離平方的最大值.
【答案】(Ⅰ) (α為參數(shù))(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ) 已知極坐標(biāo)方程兩邊同乘,利用,化簡方程得直角坐標(biāo)方程,從而可求的參數(shù)方程;(Ⅱ) 利用參數(shù)方程,設(shè)出中點坐標(biāo),將中點到原點的距離平方用三角函數(shù)表示,根據(jù)輔助角公式化簡,利用三角函數(shù)的有界性,可求中點到原點的距離平方的最大值.
試題解析:(Ⅰ)由ρ=4cos θ-2sin θ得ρ2=4ρcos θ-2ρsin θ,
x2+y2=4x-2y,∴(x-2)2+(y+1)2=5,
化為參數(shù)方程是 (α為參數(shù)).
(Ⅱ)設(shè)點P(x,y),A(x0,y0).
因為點B(3,0),且AB中點為P,
所以
又點A在圓C上,
所以x0=2+cos α,y0=-1+sin α,
∴x2+y2=+=+==≤ (其中tanφ=5),
∴AB中點P到原點O的距離平方的最大值為.
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【題目】若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點對稱,則稱(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個“伙伴點組”(點組(P,Q)與(Q,P)看作同一個“伙伴點組”).已知函數(shù)f(x)=有兩個“伙伴點組”,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B. (0,1)
C. D. (0,+∞)
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【題目】某銷售公司為了解員工的月工資水平,從1000位員工中隨機(jī)抽取100位員工進(jìn)行調(diào)查,得到如下的頻率分布直方圖:
(1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資;
(2)該公司工資發(fā)放是以員工的營銷水平為重要依據(jù)來確定的,一般認(rèn)為,工資低于4500。元的員工屬于學(xué)徒階段,沒有營銷經(jīng)驗,若進(jìn)行營銷將會失敗;高于4500元的員工是具備營銷成熟員工,基進(jìn)行營銷將會成功,F(xiàn)將該樣本按照“學(xué)徒階段工資”、“成熟員工工資”分成兩層,進(jìn)行分層抽樣,從中抽出5人,在這5人中任選2人進(jìn)行營銷活動;顒又校课粏T工若營銷成功,將為公司贏得3萬元,否則公司將損失1萬元。試問在此次比賽中公司收入多少萬元的可能性最大?
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【題目】已知函數(shù), 且.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,試判斷函數(shù)的零點個數(shù).
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=4時,求不等式f(x)≥7的解集;
(Ⅱ)若f(x)≥5對x∈R恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】(本小題共12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C為30°,設(shè)PM=tMC,試確定t的值.
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【題目】已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點.
(Ⅰ)求證:PC∥平面EBD;
(Ⅱ)求證:平面PBC⊥平面PCD.
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【題目】隨著國家二孩政策的全面放開,為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.
非一線 | 一線 | 總計 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
總計 | 58 | 42 | 100 |
由K2=,得K2=.
參照下表,
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
正確的結(jié)論是( )
A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
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【題目】某省高考改革實施方案指出:該省高考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生自主選擇的學(xué)業(yè)水平等級性考試科目共同構(gòu)成.該省教育廳為了解正就讀高中的學(xué)生家長對高考改革方案所持的贊成態(tài)度,隨機(jī)從中抽取了100名城鄉(xiāng)家長作為樣本進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見.下面是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖.
(1)根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷我們能否有95%的把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”?
贊成 | 不贊成 | 合計 | |||||
城鎮(zhèn)居民 | |||||||
農(nóng)村居民 | |||||||
合計 | |||||||
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.005 | ||||
k0 | 2.706 | 3.841 | 7.879 | ||||
注: 其中
(2)用樣本的頻率估計概率,若隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽取3個,記這3個家長中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為x,試求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E(x).
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