【題目】已經函數的定義域為,設
(1)試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數
(2)求證
(3)若不等式(為正整數)對任意正實數恒成立,求的最大值.(解答過程可參考使用以下數據)
【答案】(1) (2)6(3)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數導數,令得或,所以在上遞增,所以要使在為單調函數,則;(2)由(1)知在處取得權小值,又,所以在的最小值為,從而當時, ,即;(3)等價于
即,記,則,由導數知在上單調遞減,在上單調遞增,所以, 對任意正實數恒成立,等價于,即,再利用導數研究即可.
試題解析:
(1)因為
令得或;令,得
所以在上遞增,在上遞減
要使在為單調函數,則
所以的取值范圍為
(2)證:因為在上遞增,在上遞減,
所以在處取得權小值
又,所以在的最小值為
從而當時, ,即
(3)等價于
即
記,則
由 得,
所以在上單調遞減,在上單調遞增
所以
對任意正實數恒成立,
等價于,
即
記,則
所以在上單調遞減,
又
所以的最大值為6
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的離心率為, , 分別是它的左、右焦點,且存在直線,使, 關于的對稱點恰好是圓: (, )的一條直徑的兩個端點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與拋物線相交于、兩點,射線、與橢圓分別相交于、.試探究:是否存在數集,當且僅當時,總存在,使點在以線段為直徑的圓內?若存在,求出數集;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的標準方程為, 為拋物線上一動點, ()為其對稱軸上一點,直線與拋物線的另一個交點為.當為拋物線的焦點且直線與其對稱軸垂直時, 的面積為18.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)記,若值與點位置無關,則稱此時的點為“穩(wěn)定點”,試求出所有“穩(wěn)定點”,若沒有,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ()的焦點是橢圓: ()的右焦點,且兩曲線有公共點
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓的左、右頂點分別為, ,若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于, 兩點,已知直線與相較于點,試判斷點是否在一定直線上?若在,請求出定直線的方程;若不在,請說明理由.
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