【題目】已知橢圓: ()的離心率為, , 分別是它的左、右焦點,且存在直線,使, 關于的對稱點恰好是圓: (, )的一條直徑的兩個端點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與拋物線相交于、兩點,射線、與橢圓分別相交于、.試探究:是否存在數(shù)集,當且僅當時,總存在,使點在以線段為直徑的圓內(nèi)?若存在,求出數(shù)集;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在數(shù)集.
【解析】試題分析:(1)由圓的方程配方得半徑為2,由題設知,橢圓的焦距等于圓的直徑,所以,又,可得橢圓方程.
(2)由題可得直線是線段的垂直平分線,由方程與,聯(lián)立可得:
, .又點在以線段為直徑的圓內(nèi)即,
試題解析:(1)將圓的方程配方得: ,所以其圓心為,半徑為2,由題設知,橢圓的焦距等于圓的直徑,所以,
又,所以,從而,故橢圓的方程為.
(2)因為產(chǎn)于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點,所以直線是線段的垂直平分線(是坐標原點),故方程為,與,聯(lián)立得: ,由其判別式得①.
設, ,則, ,
從而, .
因為的坐標為,
所以, ,
注意到與同向, 與同向,所以
點在以線段為直徑的圓內(nèi),所以
即
代入整理得②
當且僅當即時,總存在,使②成立.
又當時,由韋達定理知方程的兩根均為正數(shù),故使②成立的,從而滿足①.
故存在數(shù)集,當且僅當時,總存在使點在以線段為直徑的圓內(nèi).
點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解是一個常用的方法. 涉及點在以線段為直徑的圓內(nèi),坐標化求解即可.
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【題目】如圖,在三棱臺ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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【題目】已知為常數(shù),對任意,均有恒成立.下列說法:
①的周期為;
②若為常數(shù))的圖像關于直線對稱,則;
③若且,則必有;
④已知定義在上的函數(shù)對任意均有成立,且當時, ;又函數(shù)為常數(shù)),若存在使得成立,則的取值范圍是.其中說法正確的是____.(填寫所有正確結(jié)論的編號)
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【題目】如圖所示,在三棱錐S—ABC中,△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA=3a,且SA⊥平面ABC,則點A到平面SBC的距離為( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,AB=,BC=1,E,F分別是AB,PC的中點,DE⊥PA.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PDE.
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【題目】如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連結(jié)PE并延長交AB于點G.
(Ⅰ)證明:G是AB的中點;
(Ⅱ)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.
(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;
(2)若p=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.
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【題目】(2016·沈陽期中)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分別為AB、BC的中點,點P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧上變動(如圖所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則2λ-μ的取值范圍是______________.
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【題目】已經(jīng)函數(shù)的定義域為,設
(1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)
(2)求證
(3)若不等式(為正整數(shù))對任意正實數(shù)恒成立,求的最大值.(解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù))
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