【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)由面面垂直性質(zhì)定理得AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.再根據(jù)平幾知識(shí)得BF⊥FC.最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論(2)過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AK于Q,由三垂線定理得BQ⊥AK.即∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.再根據(jù)解三角形得二面角B-AD-F的平面角的余弦值
試題解析:(1)證明 延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.
因?yàn)槠矫?/span>BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.
又因?yàn)?/span>EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF⊥CK,且CK∩AC=C,CK,AC都在平面ACFD內(nèi),
所以BF⊥平面ACFD.
(2)過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AK于Q,連接BQ.
因?yàn)?/span>BF⊥平面ACFD,AK在平面ACFD內(nèi),所以BF⊥AK,
則AK⊥平面BQF,BQ在平面BQF內(nèi),所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.
在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得cos∠BQF=.
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心,已形成了全民自覺(jué)參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問(wèn)題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出人,并將這人按年齡分組:第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)求出這人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(Ⅲ)現(xiàn)在要從年齡較小的第、組中用分層抽樣的方法抽取人,則第、組分別抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在軸上,離心率為,其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,1).
(Ⅰ)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn),且A、B的中點(diǎn)為(2,3),求直線的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的圖像可由的圖像平移得到,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),均有成立,且存在實(shí)數(shù),使得為奇函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式.
(Ⅱ)函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ,若,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).若沿EF、FG、GH、HE將四角折起,試問(wèn)能折成一個(gè)四棱錐嗎?為什么?你從中能得到什么結(jié)論?對(duì)于圓錐有什么類似的結(jié)論?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過(guò)右頂點(diǎn)作直線,且與軸交于點(diǎn),又在直線和橢圓上分別取點(diǎn)和點(diǎn),滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),連接.
(1)求的值,并證明直線與圓相切;
(2)判斷直線與圓是否相切?若相切,請(qǐng)證明;若不相切,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四面體中,已知⊥平面, , , 為的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若為的中點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且,
求證:直線//平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:(1)異面直線是指空間兩條既不平行也不相交的直線;(2)若直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則;(3)若直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直,則;(4)兩條異面直線中的一條垂直于平面,則另一條必定不垂直于平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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