Question

【題目】已知、是定義在實(shí)數(shù)集上的實(shí)值函數(shù)，如果存在，使得對任何，都有，那么稱比高興，如果對任何，都存在，使得，那么稱比幸運(yùn)，對于實(shí)數(shù)和上述函數(shù)，定義.

（1）①，，判斷是否比高興？

②，，判斷是否比幸運(yùn)？

（2）判斷下列命題是否正確？并說明理由：

①如果比高興，比高興，那么比高興；

②如果比幸運(yùn)，比幸運(yùn)，那么比幸運(yùn)；

（3）證明：對每個(gè)函數(shù)，均存在函數(shù)，使得對任何實(shí)數(shù)，都比幸運(yùn)，也比幸運(yùn).

Answer 1

【答案】（1）①比高興；②比幸運(yùn)；（2）①正確；②不正確；（3）證明見解析.

【解析】

(1)直接根據(jù)高興和幸運(yùn)的定義求解判斷即可.
(2)①根據(jù)高興的定義,分別取存在分別滿足比高興與比高興,再取的較大值進(jìn)行證明即可.

②由題可直接舉出帶有周期性的函數(shù)反例正余弦函數(shù)即可.

(3)由題意知存在對任何,都存在,使得.且對每個(gè)函數(shù),均存在函數(shù),使得對任何實(shí)數(shù),都比幸運(yùn),也比幸運(yùn),故對任何,都存在,使得與.故可以考慮構(gòu)造特殊函數(shù)等于加減一個(gè)能消除任意實(shí)數(shù)的影響的函數(shù)來證明.

(1)①由,,當(dāng)時(shí),,解得或.

故存在,使得對任何,都有,即比高興
②由題意,對任何,都存在為有理數(shù).此時(shí),又,此時(shí)為無理數(shù),故,此時(shí)有,故.

故滿足對任何,都存在,使得.故比幸運(yùn).

(2)①由題得, 存在,使得對任何,都有,同時(shí)

存在,使得對任何,都有.

取,則對任何,都有,

且對任何,都有.

即存在,對任何,都有,即比高興.

故①正確.

②由題,令,

此時(shí)對任何,都存在,

此時(shí),滿足,故比幸運(yùn).

又對任何,都存在,

此時(shí),滿足,故比幸運(yùn).

但恒成立.故不存在成立.

故不比幸運(yùn).故②不正確.

(3)令函數(shù) .

顯然則滿足比幸運(yùn).故設(shè)

下證明函數(shù)滿足對任何實(shí)數(shù),都比幸運(yùn),也比幸運(yùn).

1.對任意與實(shí)數(shù) ,取.

則取任意有存在,

使得,

即.即比幸運(yùn).

2. 對任意與實(shí)數(shù) ,取,顯然

則取任意有存在,

使得

即.即比幸運(yùn).

故對每個(gè)函數(shù),均存在函數(shù),使得對任何實(shí)數(shù),都比幸運(yùn),也比幸運(yùn).