Question

【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足對(duì)所有正整數(shù)成立，則稱為“數(shù)列”，現(xiàn)已知數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）若，求的值；

（2）若對(duì)所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相應(yīng)的的通項(xiàng)公式；

（3）數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列。

Answer 1

【答案】（1）或

（2），

（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件列方程求解即可；

（2）先由已知猜想，再結(jié)合與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明，通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法即可得證；

（3）按數(shù)列是否為等差數(shù)列分類證明，可以用反證法來(lái)證明結(jié)論.

解：（1）由已知可得：，

又，即，

解得或；

（2）當(dāng)時(shí)，，又，

則，則與已知矛盾，

即，

當(dāng)，可得，，

猜想：，

證明：①當(dāng)時(shí)，成立，

② 假設(shè)當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立，即，

，

那么當(dāng)時(shí)，，依然成立，

綜上可得：；

（3）假設(shè)是等差數(shù)列，令，則，

即，可得,

則，化簡(jiǎn)整理得：成立,

因?yàn)?/span>且，則,則，則為非零的常數(shù)列的等差數(shù)列，從而得證，

若不是等差數(shù)列，則，（含變量的式子，非常數(shù)），

則，根據(jù)累加法可得常數(shù)，

故不可能是等比數(shù)列，

故是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列.