Question

【題目】設(shè)是定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，對(duì)任意，都滿足：，，且當(dāng)時(shí)，.

（1）請(qǐng)指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)；

（2）試證明是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間（）上的解析式；

（3）方程有三個(gè)不等根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)，上遞減，上遞增，零點(diǎn)；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）（）.

【解析】

根據(jù)，可推出函數(shù)為偶函數(shù)，即可求出（2）由可推出周期為2，根據(jù)周期及奇偶性可求出函數(shù)在上的解析式（3）在一個(gè)周期內(nèi)研究即可，利用導(dǎo)數(shù)求出直線與相切時(shí)的截距，過(guò)點(diǎn)時(shí)直線的截距，即可求出方程有3個(gè)不等實(shí)根時(shí)的取值范圍.

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，函數(shù)為定義域R上的偶函數(shù)，

故在區(qū)間上是偶函數(shù)，在是遞減區(qū)間，是遞增區(qū)間，零點(diǎn)是0.

因?yàn)?/span>，

所以，

故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù).

設(shè)，則，，

所以，

又函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為2，

所以，

故，.

（3）當(dāng)時(shí)，，

在周期內(nèi)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，直線與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，向下平移直線時(shí)，與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與（）相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，由得：，

因?yàn)橄嗲�，所�?/span>，

解得，

故當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)不等的實(shí)根.