【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.

（1）證明:AC⊥B1D.

（2）求BC1與平面B1C1D所成角的正弦值.

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）設相交于，通過證明，證得，由此證得，根據(jù)平面，證得，由此證得平面，進而證得.

（2）以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，通過直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明:設AC,BD交于點O,

∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,

又∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=AC,

∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,

∴△AOD≌△COD,∴∠AOD=∠COD=90°,

∴AC⊥BD,

又BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

∴AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BDB1,又B1D平面BDB1,

∴AC⊥B1D.

（2）由（1）知，所以，所以，所以.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,，所以，，所以.設平面的法向量為，則，即，令得，設直線與平面所成角為，則

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練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成.其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面向上的概率為，則一卦中恰有兩個變爻的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】足球是當今世界傳播范圍最廣、參與人數(shù)最多的體育運動，具有廣泛的社會影響，深受世界各國民眾喜愛．

（1）為調查大學生喜歡足球是否與性別有關，隨機選取50名大學生進行問卷調查，當問卷評分不低于80分則認為喜歡足球，當評分低于80分則認為不喜歡足球，這50名大學生問卷評分的結果用莖葉圖表示如圖：

請依據(jù)上述數(shù)據(jù)填寫如下列聯(lián)表：

喜歡足球

不喜歡足球

總計

女生

男生

總計

請問是否有 的把握認為喜歡足球與性別有關？

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

（2）已知某國“糖果盒”足球場每年平均上座率與該國成年男子國家足球隊在國際足聯(lián)的年度排名線性相關，數(shù)據(jù)如表，，，

年度排名

9

6

3

平均上座率

0.9

0.91

0.92

0.93

0.95

求變量與的線性回歸方程，并預測排名為1時該球場的上座率．

參考公式及數(shù)據(jù)：，；．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立.求：（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；（Ⅱ）比賽停止時已打局數(shù)的分別列與期望E．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.

（1）求出函數(shù)在R上的解析式；

（2）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出的單調區(qū)間．

（3）求使時的的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大學先修課程是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備．某高中成功開設大學先修課程已有兩年，共有人參與學習先修課程，這兩年學習先修課程的學生都參加了高校的自主招生考試（滿分分），結果如下表所示：

分數(shù)

人數(shù)

參加自主招生獲得通過的概率

（1）這兩年學校共培養(yǎng)出優(yōu)等生人，根據(jù)圖中等高條形圖，填寫相應列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗能否在犯錯的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系？

優(yōu)等生

非優(yōu)等生

總計

學習大學先修課程

沒有學習大學先修課程

總計

（2）已知今年全校有名學生報名學習大學選項課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率．

（i）在今年參與大學先修課程學習的學生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；

（ii）某班有名學生參加了大學先修課程的學習，設獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若與相交于兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在統(tǒng)計調查中，問卷的設計是一門很大的學問，特別是對一些敏感性問題.例如學生在考試中有無作弊現(xiàn)象，社會上的偷稅漏稅等.更要精心設計問卷.設法消除被調查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題，否則被調查者往往會拒絕冋答，或不提供真實情況，為了調查中學生中的早戀現(xiàn)象，隨機抽出300名學生，調查中使用了兩個問題.①你的學籍號的最后一位數(shù)是奇數(shù)（學籍號的后四位是序號）；②你是否有早戀現(xiàn)象，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球.摸到兩球同色的學生如實回答第一個問題，摸到兩球異色的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不放，后來在盒子中收到了78個小石子.

（1）你能否估算出中學生早戀人數(shù)的百分比？

（2）若從該地區(qū)中學生中隨機抽取一個班（40人），設其中恰有個人存在早戀的現(xiàn)象，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某農業(yè)觀光區(qū)的平面示意圖如圖所示，其中矩形的長千米，寬千米，半圓的圓心為中點，為了便于游客觀光休閑，在觀光區(qū)鋪設一條由圓弧、線段、組成的觀光道路，其中線段經過圓心，點在線段上（不含線段端點、），已知道路、的造價為每千米萬元，道路造價為每千米 萬元，設，觀光道路的總造價為.

（1）試求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；

（2）當為何值時，觀光道路的總造價最小.

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