Question

【題目】如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ.

(1)若AP⊥AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標；

(2)假設直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)設直線PQ的方程為x＝my＋n，點P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．

由得y2－4my－4n＝0.

由Δ>0，得m2＋n>0，

y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.

∵AP⊥AQ，∴·＝0，

∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0.

又x1＝，x2＝，

∴(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0，

∴(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0.

∴n＝－2m＋1或n＝2m＋5.

∵Δ>0恒成立，∴n＝2m＋5.

∴直線PQ的方程為x－5＝m(y＋2)，

∴直線PQ過定點(5，－2)．

(2)假設存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ.

設直線PQ的方程為x＝my＋n.

∵直線PQ過點T(5，－2)，

∴5＝m·(－2)＋n，

∴n＝2m＋5.

∴直線PQ的方程為x＝my＋2m＋5.

設點P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．

由得

y2－4my－8m－20＝0.

∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－8m－20.

∵PQ的中點坐標為

M，

即M，

且＝

＝2m2＋2m＋5，

∴PQ的中點坐標為M(2m2＋2m＋5，2m)．

由已知得＝－m，

即m3＋m2＋3m－1＝0.

設g(m)＝m3＋m2＋3m－1，

則g′(m)＝3m2＋2m＋3>0，

∴g(m)在R上是增函數(shù)．

又g(0)＝－1<0，g(1)＝4>0，

∴g(m)在(0，1)內(nèi)有一個零點．

∴函數(shù)g(m)在R上有且只有一個零點，即方程m3＋m2＋3m－1＝0在R上有唯一實根，

∴滿足條件的等腰三角形有且只有一個．