Question

【題目】對(duì)于集合，，，，定義.

集合中的元素個(gè)數(shù)記為，當(dāng)，稱集合具有性質(zhì).

（1）已知集合，，寫出，的值，并判斷集合是否具有性質(zhì)；

（2）設(shè)集合具有性質(zhì)，判斷集合中的三個(gè)元素是否能組成等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 數(shù)列中的前100項(xiàng)：組成的集合記作，將集合中的所有元素從小到大排序，即滿足，求.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性質(zhì)；（2）中的三個(gè)元素不能構(gòu)成等差數(shù)列，見解析；（3）2816

【解析】

(1)根據(jù)定義分別計(jì)算和,再判斷集合是否具有性質(zhì)即可.

(2)根據(jù)集合具有性質(zhì)可知中的元素應(yīng)是：這6個(gè)元素應(yīng)該互不相等. 再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定矛盾即可.

(3)易得,進(jìn)而可得,再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算可推導(dǎo)出當(dāng)時(shí),,且,進(jìn)而將集合中的所有元素進(jìn)行排序,再求即可.

（1）因?yàn)?/span>,,所以根據(jù)題目中的定義可知,,

所以,,

又,而,所以集合不具有性質(zhì).

（2）集合中的三個(gè)元素不能組成等差數(shù)列,理由如下：因?yàn)榧��?/span>具有性質(zhì),所以,

由題中所給的定義可知：中的元素應(yīng)是：這6個(gè)元素應(yīng)該互不相等.

假設(shè)中的三個(gè)元素能構(gòu)成等差數(shù)列,

若為等差中項(xiàng),則,而均為其中的元素,這與集合中的6個(gè)元素互不相等矛盾；

若或為等差中項(xiàng),同理,矛盾.

故中的三個(gè)元素不能構(gòu)成等差數(shù)列.

（3）因?yàn)閿?shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以.

則,因?yàn)?/span>是單調(diào)遞增數(shù)列,

若,即,即,則,

又,所當(dāng)時(shí),,且.

故根據(jù)定義將集合中的所有元素從小到大排序?yàn)椋?/span>

所以小于等于的元素個(gè)數(shù)為：,

當(dāng)時(shí),即小于等于的數(shù)共有91個(gè)數(shù),顯然不到100個(gè)數(shù),所以第100個(gè)數(shù)為.

因此.