【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)滿足,,其中常數(shù)a,b∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)設(shè),求函數(shù)g(x)的極值.
【答案】(1)6x+2y-1=0;(2)g(x)在x=0處取得極小值g(0)=-3,在x=3處取得極大值g(3)=15e-3.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知條件解出a,b,得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式,切線方程的斜率即為該點導(dǎo)數(shù)值,由點斜式即可寫出切線方程;
(Ⅱ)求g(x)導(dǎo)函數(shù)g′(x)=(-3x2+9x)e-x,可得出單調(diào)區(qū)間,從而得到極值.
試題解析:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,
則解得
∴f(x)=x3-x2-3x+1,∴f(1)=-,f′(1)=-3,
∴y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為
y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0;
(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x,
令g′(x)=0,即(-3x2+9x)e-x=0,得x=0或x=3,
當(dāng)x∈(-∞,0)時,g′(x)<0,
故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(0,3)時,g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈(3,+∞)時,g′(x)<0,
故g(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.
從而函數(shù)g(x)在x=0處取得極小值g(0)=-3,
在x=3處取得極大值g(3)=15e-3.
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【題目】一口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球,每次從袋中任意摸出一個球 .
(1)采取有放回抽樣方式,從中摸出兩個球,求兩球恰好顏色不同的概率;
(2)采取不放回抽樣方式,從中摸出兩個球,求摸得白球的個數(shù)的均值和方差.
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【題目】[2019·開封一模]已知數(shù)列中,,,利用下面程序框圖計算該數(shù)列的項時,若輸出的是2,則判斷框內(nèi)的條件不可能是( )
A. B. C. D.
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【題目】四棱錐,底面為平行四邊形,側(cè)面底面.已知,,,為線段的中點.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】[2019·龍泉驛區(qū)一中]交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,且保費與上一年車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和費率浮動比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上三個以及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮 | |
上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 13 | 7 | 20 | 14 | 6 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率;
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損6000元,一輛非事故車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問題:
①若該銷售商店內(nèi)有7輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選2輛,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次性購進(jìn)70輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= ,且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,若在區(qū)間[﹣1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4個零點,則實數(shù)k的取值范圍是 .
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【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan﹣1+an﹣an﹣1=0(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{ }等差數(shù)列;
(2)數(shù)列bn=anan+1 , 求數(shù)列bn的前n項和.
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【題目】某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比,比例系數(shù)為輪船的最大速度為15海里小時當(dāng)船速為10海里小時,它的燃料費是每小時96元,其余航行運作費用(不論速度如何)總計是每小時150元假定運行過程中輪船以速度v勻速航行.
求k的值;
求該輪船航行100海里的總費用燃料費航行運作費用的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f (x)=ex+2x2-3x.
(1)求證:函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點.
(2)當(dāng)x≥時,若關(guān)于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
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