【題目】已知函數(shù)f (x)=ex+2x2-3x.

(1)求證:函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn).

(2)當(dāng)x時(shí),若關(guān)于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析:(1)先求f′(0)與f′(1),看兩值是否異號,然后證明f′(x)在[0,1]上單調(diào)性,即可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn);
(2)由題意得到ex-,x2-ax-1≥0,構(gòu)造g(x)=ex-x2-ax-1,分類討論求出g(x)的最值,即可得到a的范圍.

詳解:(1)f ′(x)=ex+4x-3,

f ′(0)=e0-3=-2<0,f ′(1)=e+1>0,

f ′(0)·f ′(1)<0.

h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,則h′(x)=ex+4>0,

f ′(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,

f ′(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一零點(diǎn),

f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極小值點(diǎn).

(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3xx2+(a-3)x+1,即ax≤exx2-1,

x,∴a

g(x)=,則g′(x)=

φ(x)=ex(x-1)-x2+1,則φ′(x)=x(ex-1).∵x,∴φ′(x)>0.

φ(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增.∴φ(x)≥φ()=>0.

因此g′(x)>0,故g(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增,

g(x)≥g()==2,∴a的取值范圍是a≤2.

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