【題目】已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(10),橢圓C1過點,拋物線的頂點為原點.

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程;

(2)設點P為拋物線C2準線上的任意一點,過點P作拋物線C2的兩條切線PAPB,其中A、B為切點.

設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值;

②若直線AB交橢圓C1C,D兩點,SPAB,SPCD分別是PABPCD的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.

【答案】(1) 拋物線標準方程為,橢圓的方程為:,(2)①證明見解析,②有,最小值為

【解析】

(1)利用可得拋物線的標準方程,根據(jù)和點在橢圓上列方程組可求得,從而可得標準方程;

(2)①利用△=0以及韋達定理可得結論;

②先求出直線過定點,將問題轉化為,即求得最小值,當直線的斜率存在時,聯(lián)立直線與拋物線,利用弦長公式求出,然后求比值,此時大于,當直線的斜率不存在時,直接求出可得比值為.從而可得結論.

(1)因為拋物線C2有相同的焦點(1,0),且頂點為原點,所以,所以,

所以拋物線標準方程為,

設橢圓方程為,則,解得,

所以橢圓的方程為:.

(2)①證明:設,過點與拋物線相切的直線為,

,消去,

由△=,得,

.

②設

由①得,則,

所以直線的方程為,所以,

,即直線恒過定點,

設點到直線的距離為,

所以,

當直線的斜率存在時,設直線的方程為,

,

,消去,

時,△恒成立,

,

消去,△恒成立,

.

所以,

當直線的斜率不存在時,直線的方程為,

此時,,,

所以的最小值為.

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男性

女性

合計

使用

15

5

20

不使用

10

20

30

合計

25

25

50

1)請根據(jù)調查結果分①析:你有多大把握認為使用該產(chǎn)品與性別有關;

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附:

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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