Question

【題目】如果函數(shù)滿足且是它的零點，則函數(shù)是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.

（1）求出b、c并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意正數(shù)x，都有恒成立，求參數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，單減區(qū)間為0，1），單增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）根據(jù)定義得方程恒成立，解得b、c，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）先化簡不等式，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號分類討論,利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立,再說明不恒成立.

（1）因為是“有趣的”，所以

即

的定義域為，單減區(qū)間為（0，1），單增區(qū)間為.

（2）參數(shù)的取值范圍為.

引理：不等式對任意正數(shù)y都成立。證明如下：

由恒成立，得恒成立。.

我們構(gòu)造函數(shù)。注意到。

構(gòu)造，注意到，且

我們以下分兩部分進(jìn)行說明：

第一部分：時，恒成立。

時，由引理得：，知道，

從而當(dāng)時有，時有，所以在（0，1）上為負(fù)，在上為正。

從而在上單減，在上單增，最小值為。

從而

第二部分：時，不滿足條件。

構(gòu)造函數(shù)。

（�。┤�，則對于任意，都有。

（ⅱ）若，則對于任意，，

而，所以在（0，1）上有唯一零點，同時在，時都有。

于是只要，無論是（ⅰ）還是（ⅱ），我們總能找到一個實數(shù)，在時都有。

這樣在時，都有，結(jié)合，所以時，從而在時有。，所以時，不滿足要求。