Question

【題目】如圖，已知等腰梯形中，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點P，使得平面，且．

【解析】

試題（ I ） 根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進而證得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點P，中點Q，連結．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．

試題解析：（ I ） 由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．

又因為，M為AE的中點所以，

即

又因為，

所以四邊形是平行四邊形．

所以

故．

因為平面平面， 平面平面，平面

所以平面．

因為平面， 所以．

因為，、平面，

所以平面．

（Ⅱ） 以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，．

平面的法向量為．

設平面的法向量為， 因為，，

， 令得，．

所以， 因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ） 存在點P，使得平面．

法一: 取線段中點P，中點Q，連結．

則，且．

又因為四邊形是平行四邊形，所以．

因為為的中點，則．

所以四邊形是平行四邊形，則．

又因為平面，所以平面．

所以在線段上存在點，使得平面，．

法二：設在線段上存在點，使得平面，

設，（），，因為．

所以．

因為平面， 所以，

所以， 解得， 又因為平面，

所以在線段上存在點，使得平面，．