Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知， ．

（1）求；

（2）若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列，其中，且，

（i）求的通項(xiàng)公式；

（ii）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）存在正整數(shù)，且，使得成等差數(shù)列。

【解析】

（1）先根據(jù)條件列出關(guān)于公差與首項(xiàng)的方程組,解得結(jié)果代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.

（2）（i）由題可知，又因?yàn)?/span>，則，，則可求出，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出的通項(xiàng)公式；

（ii）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式得出,又判斷是遞增的,

假設(shè)存在正整數(shù)且,使得成等差數(shù)列,由等差中項(xiàng)可得,代入，可得當(dāng)且僅當(dāng),使得成等差數(shù)列．

解：（1）等差數(shù)列的公差設(shè)為,前項(xiàng)和為,

由，,可得,可得,

；

（2）（i）若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列,

其中,且,

可得 , ,解得,

,即有；

（ii）數(shù)列的前項(xiàng)和,

由,

可得遞增,

假設(shè)存在正整數(shù)且,使得成等差數(shù)列,

可得,即 ,

可得,由,可得,

則,得 ,

故不存在,使得成等差數(shù)列；

若顯然符合題意,

綜上可得存在正整數(shù),且,使得成等差數(shù)列．