【題目】已知函數(shù)fx)=x2+2﹣alnxbxa>0).

Ⅰ)若a=1,b=3,求函數(shù)yfx)在(1,f(1))處的切線方程;

Ⅱ)若fx1)=fx2)=0,且x1x2,證明:f′()>0.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)求fx)的導數(shù),可得切線的斜率,以及切點,由點斜式方程可得切線方程;

(Ⅱ)由函數(shù)零點定義,兩方程相減可得兩個零點之間的關(guān)系,用變量集中的方法,把兩個零點集中為一個變量,求導數(shù),判斷單調(diào)性,即可得證..

解:()若a=1,b=3,fx)=x2+2﹣lnx﹣3x

導數(shù)為f′(x)=2x﹣3,

可得在x=1處切線的斜率為﹣2,

f(1)=0,可得切線方程為y=﹣2(x﹣1),

即為2x+y﹣2=0;

(Ⅱ)證明:若fx1)=fx2)=0,且x1x2,

可得x12+2﹣alnx1bx1=0,x22+2﹣alnx2bx2=0,

兩式相減可得(x1x2)(x1+x2)﹣alnx1lnx2)﹣bx1x2)=0,

即有x1+x2ba,

可設(shè)x0,

f′(x0)=2x0b=(x1+x2b)﹣

a

[ln]

[ln],

t,t>1,可得f′(x0)=[lnt],

設(shè)ut)=lnt,t>1,

導數(shù)為u′(t)=>0,

可得ut)在t>1遞增,且u(1)=0,

可得ut)>u(1)=0,

lnt>0,

a>0,x2x1>0,可得f′(x0)>0,

綜上可得f′()>0.

練習冊系列答案
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求證:

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2)若廠內(nèi)對該車間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量采用獎懲制度,兩天全不通過檢查罰300元,通過1天,2天分別獎300900元.那么該車間在這兩天內(nèi)得到獎金的數(shù)學期望是多少元?

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Ⅲ)經(jīng)市場調(diào)查,該種水蜜桃在過去50天的銷售量(單位:千克)和價格(單位:元/千克)均為銷售時間t(天)的函數(shù),且銷售量近似地滿足f(t)=﹣3t+300(1≤t≤50,tN),前30天價格為g(t)=+20(1≤t≤30,tN),后20天價格為g(t)=30(31≤t≤50,tN),求日銷售額S的最大值.

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④若線段AP、AM、AN的長分別為a、b、c,.其中( ).

A. 只有①、④正確.

B. 只有③、④正確.

C. 只有②、③、④正確.

D. 只有②、③正確.

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