【題目】如圖，設P、M、N分別是正方體的棱，AD，AB上非頂點的任意點.

①的外心必在的某一邊上；

②的外心必在的內(nèi)部；

③的垂心必是點A在平面PMN上的射影；

④若線段AP、AM、AN的長分別為a、b、c，則.其中（ ）.

A. 只有①、④正確.

B. 只有③、④正確.

C. 只有②、③、④正確.

D. 只有②、③正確.

【答案】C

【解析】

①設AM=a,AN=b,AP=c,所以，

在△PMN中，由余弦定理得，

所以∠PMN是銳角，同理∠PNM和∠MPN也是銳角，

所以△PMN是銳角三角形，所以的外心不在的某一邊上.

所以① 是錯誤的.

②,的外心必在的內(nèi)部，所以②是正確的.

③,由題得AN⊥平面ABP，設點A在底面PMN上的射影為O,則AO⊥平面PMN,

所以AO⊥PB,又因為PB⊥AN,所以PB⊥平面AON，所以PB⊥ON.

同理得PN⊥BO,所以點O是△PMN的垂心.所以③是正確的.

④,若線段AP、AM、AN的長分別為a、b、c，則,所以④是正確的.

故答案為：C

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