【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”:①;②.
(1)若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”,求公比;
(2)若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式;
(3)記階“期待數(shù)列” 的前項和為,求證;數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)對是否等于1進行討論,令解出;
(2)由得出下標和為的兩項和為0,根據(jù)數(shù)列的單調性得出前項和為,后項和為,根據(jù)等差數(shù)列的性質將后項和減去前項和即可得出公差與的關系,再利用求和公式得出首項;
(3)①根據(jù)條件①②即可得出數(shù)列的所有正項和為,所有負項和為,故而;
②由①可知的前項全為非負數(shù),后面的項全是負數(shù),于是的前項和為,故而得出,于是得出.
解:(1)若,由①得:,得,不合題意,舍去;
若,由①得:,解得.
(2)設等差數(shù)列的公差是,
因為,
,
,,,
則,.
兩式相減得:,,
又,解得,
.
(3)記中非負項和為,負項和為,
則,,得,
因為,所以.
若存在,使,
則,,,,,,,,且,
若數(shù)列是階“期待數(shù)列”,記的前項和為,
則,,
因為,所以,所以,,
又因為,則,
所以
所以與不能同時成立,
即數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.
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【題目】某調查機構對全國互聯(lián)網行業(yè)進行調查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖和90后從事互聯(lián)網行業(yè)者崗位分布圖(90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生),則下列結論中不一定正確的是( )
整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖 90后從事互聯(lián)網行業(yè)者崗位分布圖
A.互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上
B.互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)90后比80后多
C.互聯(lián)網行業(yè)中從事設計崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網行業(yè)中從事市場崗位的90后人數(shù)不足總人數(shù)的10%
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【題目】設函數(shù),.
(1)若,,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若曲線在點處的切線與直線平行.
①求,的值;
②求實數(shù)的取值范圍,使得對恒成立.
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【題目】已知位數(shù)滿足下列條件:①各個數(shù)字只能從集合中選;②若其中有數(shù)字,則在的前面不含,將這樣的位數(shù)的個數(shù)記為;
(1)求、;
(2)探究與之間的關系,求出數(shù)列的通項公式;
(3)對于每個正整數(shù),在與之間插入個得到一個新數(shù)列,設是數(shù)列的前項和,試探究能否成立,寫出你探究得到的結論并給出證明;
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【題目】數(shù)列的前n項組成集合,從集合中任取個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對于數(shù)列,當時,時,;
(1)若集合,求當時,的值;
(2)若集合,證明:時集合的與時集合的(為了以示區(qū)別,用表示)有關系式,其中;
(3)對于(2)中集合.定義,求(用n表示).
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【題目】某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評,該公司隨機調查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組(所調查的芯片得分均在內),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.
(1)求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).
(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分,則認定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測,二測時,2個工程手機的評分都達到11萬分,則認定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認定為合格或不合格,將不再進行后續(xù)測試,現(xiàn)手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元,試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.
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【題目】設、是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根,那么過兩點、的直線與圓的位置關系是( )
A.相離B.相切C.相交D.隨的變化而變化
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【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點個數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內有且僅有1個零點;設為的極值點,為的零點且,求證:.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)的導函數(shù)在上有三個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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