【題目】記 表示正整數(shù) 在十進(jìn)制下的各位數(shù)碼之和.定義，證明：對任意的 ，存在無窮多個(gè)，，使得 .

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個(gè)引理．

引理1 設(shè)，有 .

引理1的證明 對任意，有.

設(shè)，.

反復(fù)利用式①得

.

引理2 對任意，存在， ，滿足，，.

引理2的證明 取 ，則，.

由三進(jìn)制表示的唯一性，知當(dāng)（可重集合）時(shí)， .

于是，的每一位上的數(shù)碼最大為2.故，.

類似于前面的討論，中的每一位上的數(shù)字最大為6.從而，.

引理1、2得證．

下面用反證法證明原題.

假設(shè)只有有限個(gè)正整數(shù) 滿足條件.則存在一個(gè)，使得當(dāng) 時(shí)， .

設(shè).則，，.

依次下去，知對任意，均有.

再取一個(gè)充分大的，使得 ，且 .

由引理2 ，知存在，滿足，，.

故由引理1知.

但，矛盾.

從而，對任意，存在無窮多個(gè)， ，使得.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與二次曲線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由下面的草圖可以看出，下面三個(gè)結(jié)論是成立的，請給出證明.

（1）.兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中，至少有兩個(gè)交點(diǎn)位于軸的下方；

（2）.拋物線必與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，，；

（3）.兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中，必存在一點(diǎn)，使.

注.對、、的不同取值會(huì)有無數(shù)個(gè)圖形，此處僅就，各給出一個(gè)示意圖，同時(shí)也就限制“由圖看出”的解答.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；

(2)若存在實(shí)數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)都有成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問：

①能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？

②上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？

③在①中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？

④在①中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程是x=﹣1．

（I）求此拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OFM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家意見不一致時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為，復(fù)審能通過的概率為，各專家評審的結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；

（2）若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的選項(xiàng)為（ ）

①平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；

②一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；

③一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，則該直線與此平面垂直；

④一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

A.①②B.②③C.①④D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、為平面上兩個(gè)點(diǎn)集，滿足，，且任意三點(diǎn)不共線.在集合和間各連若干條線段，每條線段均一個(gè)端點(diǎn)在集合中，另一個(gè)端點(diǎn)在集合中，且任意兩點(diǎn)間至多連一條線段，記所有線段構(gòu)成的集合為.若集合滿足對于集合或中任意一點(diǎn)均至少連出條線段，則稱集合是“一好的”.試確定的最大值，使得去掉任意一條線段，集合均不是一好的.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，且.若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．

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