Question

【題目】已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若m＞0，g（x）=f（x）+ 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得mx+1＞0，f′（x）= ，

①若m＞0時(shí)，由mx+1＞0，得：x＞﹣ ，恒有f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣ ，+∞）遞增；

②若m＜0，由mx+1＞0，得：x＜﹣ ，恒有f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減；

綜上，m＞0時(shí)，f（x）在（﹣ ，+∞）遞增，

m＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減

（2）解：g（x）=ln（mx+1）+ ﹣2，（m＞0），

∴g′（x）= ，

令h（x）=mx2+4m﹣4，

m≥1時(shí)，h（x）≥0，g′（x）≥0，g（x）無極值點(diǎn)，

0＜m＜1時(shí)，令h（x）=0，得：x1=﹣2 或x2=2 ，

由g（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣2 ＞﹣ 且﹣2 ≠﹣2，解得：m≠ ，

∴x1，x2為g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，

即x1=﹣2 ，x2=2 ，

且x1+x2=0，x1x2= ，得：

g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+ ﹣2+ln（mx2+1）+ ﹣2

=ln（2m﹣1）2+ ﹣2，

令t=2m﹣1，F(xiàn)（t）=lnt2+ ﹣2，

①0＜m＜ 時(shí)，﹣1＜t＜0，

∴F（t）=2ln（﹣t）+ ﹣2，

∴F′（t）= ＜0，

∴F（t）在（﹣1，0）遞減，F(xiàn)（t）＜F（﹣1）＜0，

即0＜m＜ 時(shí)，g（x1）+g（x2）＜0成立，符合題意；

② ＜m＜1時(shí)，0＜t＜1，

∴F（t）=2lnt+ ﹣2，F(xiàn)′（t）= ＜0，

∴F（t）在（0，1）遞減，F(xiàn)（t）＞F（1）=0，

∴ ＜m＜1時(shí)，g（x1）+g（x2）＞0，不合題意，

綜上，m∈（0， ）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值，判斷是否符合題意，從而判斷出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．