【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(1)求的取值范圍;

(2)試比較的大小,并說明理由;

(3)設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明.

【答案】(1);(2);理由見解析;(3)證明見解析

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)可知方程有兩個(gè)不等正根,將問題轉(zhuǎn)化為上有兩個(gè)不同交點(diǎn);利用過一點(diǎn)曲線的切線的求解方法可求出過原點(diǎn)與相切的直線的斜率,從而可得,解不等式求得結(jié)果;(2)令,求導(dǎo)后可知上單調(diào)遞減,從而可得,化簡可得;(3)易知是方程的兩根,令,可整理得到,從而將所證不等式化為,采用換元的方式可知只需證恒成立;構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)可知上單調(diào)遞增,可得,進(jìn)而證得結(jié)論.

1)由題意得:定義域?yàn)?/span>;

上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根

即:有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

設(shè)過的切線與相切于點(diǎn)

則切線斜率,解得:

的切線的斜率為:

,解得:

的取值范圍為:

(2)令,則

時(shí),;時(shí),

上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減

,即:

即:

(3)由(1)知,是方程的兩根

即:,

設(shè),則

原不等式等價(jià)于:

即:

設(shè),則,只需證:,

設(shè)

上單調(diào)遞增

上恒成立

所證不等式成立

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資量的單位:萬元).

1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;

2)該公司已有10萬元資金,并全部投入AB兩種產(chǎn)品中,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?

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【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度)以[160180)[180,200)[200220)[220,240)[240260)[260,280)[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖所示:

1)求直方圖中的值;

2)用分層抽樣的方法從[260280)和[280,300)這兩組用戶中確定6人做隨訪,再從這6人中隨機(jī)抽取2人做問卷調(diào)查,則這2人來自不同組的概率是多少?

3)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線C的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)分別交于點(diǎn),求的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了適應(yīng)高考改革,某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué)。高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課,高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課,為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,結(jié)果如下表:(記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”)

(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”?

(2)現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學(xué)生中,抽取3人進(jìn)行考核,記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為,求的分布列和期望.

參考公式

臨界值表

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長為

1)求橢圓的方程;

2)若直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),且,試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】 如圖所示在四邊形ABCD,∠D=2∠BAD=1, CD=3,cos B.

(1)求△ACD的面積;

(2)BC,求AB的長.

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(1)命題q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)若命題“pq”為真,命題“pq”為假,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

1)求曲線的直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程;

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