【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,討論的零點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 求出,分三種情況討論,分別令 得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上遞增, 上遞減, 上遞增,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理,可判定函數(shù)在, , 上各有一個零點,即可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ) .
①當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
當(dāng)時, .當(dāng)時, .∴在遞增
②當(dāng)時,令,得,此時.
易知在遞增, 遞減, 遞增
③當(dāng)時, .易知在遞增, 遞減, 遞增
(Ⅱ)當(dāng)時,由(Ⅰ)知在上遞增, 上遞減, 上遞增,
且,將代入,
得
∵,∴.
下面證明 當(dāng)時存在,使.
首先,由不等式,∴,∴,∴.
考慮到,
∴
.
再令,可解出一個根為,
∵,∴,∴,就取.
則有.由零點存在定理及函數(shù)在上的單調(diào)性,可知在上有唯一的一個零點.
由,及的單調(diào)性,可知在上有唯一零點.
下面證明在上,存在,使,就取,則,
∴,
由不等式,則,即.
根據(jù)零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性知在上有一個零點.
綜上可知, 當(dāng)時,共有3個零點.
【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、以及零點存在性定理,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下:對任意的 ,令 ⊙ =mq-np,下面說法錯誤的是( )
A.若 與 共線,則 ⊙ =0
B. ⊙ = ⊙
C.對任意的λ∈R,有 ⊙ = ⊙ )
D.( ⊙ )2+( )2=| |2| |2
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地的一角開辟為水果園,已知角為, 的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界處建圍墻,在處圍竹籬笆.
(1)若圍墻、總長度為200米,如何可使得三角形地塊面積最大?
(2)已知竹籬笆長為米, 段圍墻高1米, 段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,若,求圍墻總造價的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點是圓上的任意一點,點為圓的圓心,點與點關(guān)于平面直角系的坐標(biāo)原點對稱,線段的垂直平分線與線段交于點.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若軌跡與軸正半軸交于點,直線交軌跡于兩點,求面積的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)設(shè)過點的直線與曲線相切于點,求的值;
(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在內(nèi)有交點,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對一切實數(shù)都有 成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,設(shè):當(dāng)時,不等式 恒成立;Q:當(dāng)時,是單調(diào)函數(shù)。如果滿足成立的的集合記為,滿足Q成立的的集合記為,求A∩(CRB)(為全集).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列命題:
①在函數(shù)的圖象中,相鄰兩個對稱中心的距離為;②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;③“ 且”是“”的必要不充分條件;④已知命題:對任意的,都有,則是:存在,使得;⑤在中,若, ,則角等于或.其中所有真命題的個數(shù)是__________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,若點,直線與交與, ,求, .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com