Question

【題目】已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓的圓心，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面直角系的坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，線段的垂直平分線與線段交于點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若軌跡與軸正半軸交于點(diǎn)，直線交軌跡于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓的的性質(zhì)及對(duì)稱的幾何性質(zhì)可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，從而可得結(jié)果；（2）把直線，代入橢圓方程消去得： ，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式 及點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式可將的面積表示為關(guān)于 的函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.

試題解析：（1）由題意知圓的圓心為，半徑為4，

所以，

由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

設(shè)橢圓的方程為（），且焦距為 ，則：

，即，

故橢圓的方程為；

（2）把直線，

代入橢圓方程消去得： ，

由得： 或，

因?yàn)橹本�與橢圓相交于兩點(diǎn)， ，

則， ，

因?yàn)辄c(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)

的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

滿足

所心面積的取值范圍是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形范圍的.