Question

【題目】對(duì)于函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），函數(shù)，給出下列結(jié)論：

①函數(shù)的圖象在處的切線在軸的截距為

②函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；

③函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，其中，且；

④函數(shù)存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，和兩個(gè)極大值點(diǎn)，且.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①②③B.①④C.①③④D.②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

求出，寫(xiě)出切線點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)可判斷①；由的定義域，即可判斷②；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)判斷的單調(diào)性，得到的解，即可判斷③；求出，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可判斷④.

對(duì)于①，，

函數(shù)的圖象在處的切線方程為，

令，即所求的切線在軸上的截距為，

所以①正確；

對(duì)于②，，

定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不是奇函數(shù)，所以②不正確；

對(duì)于③，，當(dāng)，

當(dāng)，設(shè)，

時(shí)，為增函數(shù)，

又恒成立，

在上單調(diào)遞增，

即在上單調(diào)遞增，

，

，所以存在唯一的，

使得，當(dāng)，

所以時(shí)，取得極小值，所以③正確；

對(duì)于④，，

顯然不是極值點(diǎn)，取的定義域?yàn)?/span>，

此時(shí)為奇函數(shù)，

為偶函數(shù)，

，令，

轉(zhuǎn)化為求與在的交點(diǎn)，

畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如下圖所示，

與在為奇函數(shù)，

兩函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)時(shí)，，

，

所以時(shí)，取得極大值，時(shí)，取得極小值，

當(dāng)時(shí)，時(shí)偶函數(shù)，，

，

所以時(shí)，取得極大值，時(shí)，取得極小值，

此時(shí)，所以④正確.

故選：C.